Kinematická struktura

3D model v Pro/Engineer

Tabulka parametrů (Denavit-Hartenberg)

theta d a alfa

0 0 l0 0 0

1 q1 0 0 0

2 0 q2 l2 Pi/2

3 0 q3 0 0

rozsah času

Parametry pohybu počátku LCS3 (na koncový bod nástroje je nutná další transformační matice)

zrychlení

rychlost

poč. poloha

Rovnice pohybu počátku LCS3 - rovnoměrně zrychlený pohyb, trajektorii je vhodné řešit po částech s použitím počáteční polohy a rychlosti z koncových hodnot předchozího segmentu trajektorie

Výchozí hodnota kloubových proměnných odpovídající výchozí poloze konc.bodu nutná pro řešič inverzní úlohy (Given, Find)

Transformační matice mezi souřadnými systémy ve výchozí poloze

Celkové transformační matice

Pro sestavení rovnic inverzní úlohy je celková transformační matice vyjádřena symbolickým vynásobením jednotlivých matic

Inverzní úloha pomocí řešení soustavy transcendentních rovnic

Výpočet rychlosti a zrychlení jednotlivých kloubových proměnných

rychlosti

zrychlení

Kontrola v Pro/E

Transformační matice mezi souřadnými systémy

Kontrola správnosti sestavení transformačních matic s průběhem konc. bodu (poč. LCS3)

Výpočet dalších kinematických veličin

vektory na osách z

Submatice rotace

vzájemná (relativní) úhlová rychlost

v zákl. ss.

v zákl. ss.

v zákl. ss.

vektory mezi počátky ss

v zákl. ss.

Vektor do koncového bodu

Rychlost článku 0 - podstavce

Vzájemné rychlosti ručně zjednodušeně

v zákl. ss.

Vzájemné rychlosti univerzální obecný tvar - vystupuje zde parciální derivace vektoru p podle kloubové proměnné q - pomocí diferenciálních operátorů

Alternativně nejprve derivace vektoru p23 v lokálním souřadném systému, výsledkem je vektor rychlosti v lokálním ss., ten se vyjádří v základním ss. jen násobením submaticí rotace

Výpočet translačních rychlostí počátků lokálních ss. - vše vyjádřeno v souřadnicích základního ss.

Kontrola integrací rychlosti konc. bodu (poč. LCS3)

Výpočet relativních úhlových zrychlení článků

Výpočet relativních translačních zrychlení počátků lokálních souřadných systémů

Translační zrychlení pošátku lokálního ss. podstavce

Pro rotační

Translační

Translační

Výpočet translačních zrychlení počátků lokálních souřadných systémů

Kontrola zrychlení - odpovídá zadání ax, ay a az - definice pohybu konc. bodu na začátku výpočtu

Tento úkon kontroly je velmi důležitý, pohyb koncového bodu byl řešením inverzní úlohy rozložen do jednotlivých kloubů, byly vypočteny průběhy rychlostí a zrychlení (translační i rotační) a ve zrychlení a3 se všechny veličiny skládají. Pokud tato veličina je shodná se zadáním, je jistota správnosti výpočtu až po toto místo řešení

Poloha težišť z Pro/E

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS1 coordinate frame:

X Y Z -4.0325987e-02 -1.8024766e-06 7.3574162e-01 M

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS2 coordinate frame:

X Y Z -7.2368752e-02 0.0000000e+00 -4.7439674e-02 M

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS3 coordinate frame:

X Y Z 2.5740416e-03 0.0000000e+00 -3.7039760e-01 M

vektory do těžiště v lokálních ss

je nutno přepočítat do základního ss

Výpočet rychlosti a zrychlení těžišť - vše v základním ss

Kontrola s Pro/E OK

Ověření výpočtu rychlosti koncového bodu pomocí Jakobiho matice

Newton-Eulerovy vztahy - výpočet silového působení

MASS = 4.8824683e+01 KILOGRAM

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS1 coordinate frame:

X Y Z -4.0325987e-02 -1.8024766e-06 7.3574162e-01 M

INERTIA with respect to LCS1 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 4.6443693e+01 -7.9670815e-06 2.0478701e+00

Iyx Iyy Iyz -7.9670815e-06 4.7356949e+01 1.4573962e-04

Izx Izy Izz 2.0478701e+00 1.4573962e-04 1.4139746e+00

INERTIA at CENTER OF GRAVITY with respect to LCS1 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 2.0014124e+01 -4.4181788e-06 5.9926583e-01

Iyx Iyy Iyz -4.4181788e-06 2.0847982e+01 8.0990420e-05

Izx Izy Izz 5.9926583e-01 8.0990420e-05 1.3345766e+00

Článek ROT1 - matice setrvačnosti k těžišti, vyjádřeno (orientace) podle LCS1

Matice setrvačnosti přepočtená do základního GCS

TRAN2

MASS = 4.2894906e+01 KILOGRAM

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS2 coordinate frame:

X Y Z -7.2368752e-02 0.0000000e+00 -4.7439674e-02 M

INERTIA with respect to LCS2 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 1.0344896e+00 0.0000000e+00 -1.2186605e-01

Iyx Iyy Iyz 0.0000000e+00 1.7935719e+00 0.0000000e+00

Izx Izy Izz -1.2186605e-01 0.0000000e+00 1.4614205e+00

INERTIA at CENTER OF GRAVITY with respect to LCS2 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 9.3795366e-01 0.0000000e+00 2.5398594e-02

Iyx Iyy Iyz 0.0000000e+00 1.4723852e+00 0.0000000e+00

Izx Izy Izz 2.5398594e-02 0.0000000e+00 1.2367697e+00

Článek TRAN2 - matice setrvačnosti k těžišti, vyjádřeno (orientace) podle LCS2

Matice setrvačnosti přepočtená do základního GCS

TRAN3

MASS = 5.9261161e+01 KILOGRAM

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS3 coordinate frame:

X Y Z 2.5740416e-03 0.0000000e+00 -3.7039760e-01 M

INERTIA with respect to LCS3 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 3.3435680e+01 0.0000000e+00 1.9296398e-01

Iyx Iyy Iyz 0.0000000e+00 3.4142950e+01 0.0000000e+00

Izx Izy Izz 1.9296398e-01 0.0000000e+00 1.0075258e+00

INERTIA at CENTER OF GRAVITY with respect to LCS3 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 2.5305381e+01 0.0000000e+00 1.3646327e-01

Iyx Iyy Iyz 0.0000000e+00 2.6012259e+01 0.0000000e+00

Izx Izy Izz 1.3646327e-01 0.0000000e+00 1.0071331e+00

Článek TRAN3 - matice setrvačnosti k těžišti, vyjádřeno (orientace) podle LCS3

Matice setrvačnosti přepočtená do základního GCS

Rovnováha sil a momentů pro jednotlivé články - rekurentní vzorce

Pozor !!!!! Zatím není uvažován vliv vnitřních převodů a rozvodů, také výsledky z Pro/E jsou pro mechanismus s odpojenými (uvnitř nepohyblivými) vnitřními převody - vystupují tam jen jako hmotnost, nejsou zahrnuty jejich redukované momenty setrvačnosti při roztáčení !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Síly a momenty na koncový bod v zákl.ss

Rovnováha sil - třetí článek

Moment tečných a odstředivých sil vyjádřený v zákl. ss.

Rovnováha momentů k těžišti 3.článku v zákl. ss

Rovnováha sil - druhý článek

Moment tečných a odstředivých sil vůči zákl. ss.

Rovnováha momentů k těžišti v zákl. ss

Rovnováha sil - první článek

Moment tečných a odstředivých sil vůči zákl. ss.

Rovnováha momentů k těžišti v zákl ss

Zobecněné síly Newton-Euler

Zahrnutí vlivu vnitřních převodů a rozvodů na dynamiku mechanismu (redukované momenty a hmotnosti)

Zahrnutí vlivu momentu setrvačnosti rotoru motoru, převodovky a vnitřních kroužků velkých ložisek

Zahrnutí vlivu zrychlení vnitřních převodů TRAN2 na zobecněnou sílu tau1

Zahrnutí vlivu zrychlení ROT1 na vnitřní převody TRAN2

Zahrnutí zvýšení redukované hmotnosti článku TRAN2 vlivem zrychlení rotoru MOT2 a jeho převodovky a pohybového šroubu

Zahrnutí zvýšení redukované hmotnosti vlivem zrychlení rotoru motoru MOT3, ozubeného kola a matice pohybového šroubu (řemen neuvažován)

Pozn. - Nejsou uvažovány gyroskopické efekty

Zobecněné síly s uvažováním vnitřních převodů

Pro porovnání zobecněné síly bez zahrnutí pohybu vnitřních převodů

Z porovnání vyplývá, že zobecněné síly s uvažováním vnitřních převodů jsou výrazně vyšší (u třetí osy téměř dvojnásobek), není možno redukované momenty vnitřních převodů zanedbat

Zobecněné síly z úplného modelu v ProE včetně vnitřních převodů

Lagrangeova pohybová rovnice - maticově ruční výpočet

Totální diferenciály transformačních matic podle času pomocí diferenciálních operátorů

Prorotační kloub

Pro translační kloub

Výpočet totálního diferenciálu (analogie derivace) transformační matice Tb1 podle času

Výpočet totálního diferenciálu (analogie derivace) transformační matice Tb2 podle času

Výpočet totálního diferenciálu (analogie derivace) transformační matice Tb3 podle času

ROT1

MASS = 4.8824683e+01 KILOGRAM

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS1 coordinate frame:

X Y Z -4.0325987e-02 -1.8024766e-06 7.3574162e-01 M

INERTIA with respect to LCS1 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 4.6443693e+01 -7.9670815e-06 2.0478701e+00

Iyx Iyy Iyz -7.9670815e-06 4.7356949e+01 1.4573962e-04

Izx Izy Izz 2.0478701e+00 1.4573962e-04 1.4139746e+00

INERTIA at CENTER OF GRAVITY with respect to LCS1 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 2.0014124e+01 -4.4181788e-06 5.9926583e-01

Iyx Iyy Iyz -4.4181788e-06 2.0847982e+01 8.0990420e-05

Izx Izy Izz 5.9926583e-01 8.0990420e-05 1.3345766e+00

Pozor - pro Lagrangeovu pohybovou rovnici se použije matice setrvačnosti k lokálnímu souřadnému systému (ta první v pořadí), pro N-E vztahy byla předtím použita matice setrvačnosti k těžišti (druhá matice)

Článek 1

momenty k lokálnímu ss

Přepočet momentů setrvačnosti k osám na momenty setrvačnosti k rovinám

Normální matice setrvačnosti

Homogenní matice setrvačnosti

Kinetická energie prvního článku

Pro odvození výrazu pro kinetickou energii pro ruční použití v Lagr.rov. II. druhu provedeme symbolicky roznásobení (Shift+F9)

jen rotace

TRAN2

MASS = 4.2894906e+01 KILOGRAM

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS2 coordinate frame:

X Y Z -7.2368752e-02 0.0000000e+00 -4.7439674e-02 M

INERTIA with respect to LCS2 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 1.0344896e+00 0.0000000e+00 -1.2186605e-01

Iyx Iyy Iyz 0.0000000e+00 1.7935719e+00 0.0000000e+00

Izx Izy Izz -1.2186605e-01 0.0000000e+00 1.4614205e+00

INERTIA at CENTER OF GRAVITY with respect to LCS2 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 9.3795366e-01 0.0000000e+00 2.5398594e-02

Iyx Iyy Iyz 0.0000000e+00 1.4723852e+00 0.0000000e+00

Izx Izy Izz 2.5398594e-02 0.0000000e+00 1.2367697e+00

Článek 2

momenty k lokálnímu ss

Přepočet momentů setrvačnosti k osám na momenty setrvačnosti k rovinám

Normální matice setrvačnosti

Homogenní matice setrvačnosti

Kinetická energie druhého článku

Pro odvození výrazu pro kinetickou energii pro ruční použití v Lagr.rov. II. druhu provedeme symbolicky roznásobení (Shift+F9)

Důležitá je neustálá kontrola úprav výrazu jeho vyčíslením před úpravou a po úpravě

TRAN3

MASS = 5.9261161e+01 KILOGRAM

CENTER OF GRAVITY with respect to LCS3 coordinate frame:

X Y Z 2.5740416e-03 0.0000000e+00 -3.7039760e-01 M

INERTIA with respect to LCS3 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 3.3435680e+01 0.0000000e+00 1.9296398e-01

Iyx Iyy Iyz 0.0000000e+00 3.4142950e+01 0.0000000e+00

Izx Izy Izz 1.9296398e-01 0.0000000e+00 1.0075258e+00

INERTIA at CENTER OF GRAVITY with respect to LCS3 coordinate frame: (KILOGRAM * M^2)

INERTIA TENSOR:

Ixx Ixy Ixz 2.5305381e+01 0.0000000e+00 1.3646327e-01

Iyx Iyy Iyz 0.0000000e+00 2.6012259e+01 0.0000000e+00

Izx Izy Izz 1.3646327e-01 0.0000000e+00 1.0071331e+00

Článek 3

momenty k lokálnímu ss

Přepočet momentů setrvačnosti k osám na momenty setrvačnosti k rovinám

Normální matice setrvačnosti

Homogenní matice setrvačnosti

Kinetická energie třetího článku

Pro odvození výrazu pro kinetickou energii pro ruční použití v Lagr.rov. II. druhu provedeme symbolicky roznásobení (Shift+F9)

Po symbolickém vynásobení

Důležitá je neustálá kontrola úprav výrazu jeho vyčíslením před úpravou a po úpravě

Potenciální energie článků

matice gravitačního zrychlení

Vynásobeno symbolicky

Celková kinetická (bez vnitřních převodů) a potenciální energie článků

Místo hmotnostních parametrů pro zjednodušení použity nové konstanty

Výsledný upravený výraz pro kinetickou energii celého mechanismu

Místo hmotnostních parametrů pro zjednodušení použity nové konstanty

Výsledný upravený výraz pro potenciální energii celého systému

Výpočet zobecněné síly pomocí Lagrangeovy pohybové rovnice II. druhu

Výpočet τ1

Výpočet prvního členu Lagr. pohybové rovnice - L11(t)

Parciální derivaci K(t) podle dq1(t) je třeba udělat ručně:

Derivaci podle času provede Mathcad, je ji potřeba ale ručně upravit

Druhý člen Lagr. rovnice L12(t)

Mathcad neumí symbolicky, proto ručně, v kinetické energii nikde není q1(t), proto výsledek druhého členu je 0

Třetí člen L13(t)

roven také nule

Výsledná zobecněná síla τ1 je tedy rovna prvnímu členu

Porovnání s výsledkem získaným z Newton-Eulerových vztahů (bez vlivu vnitřních převodů)

Druhá zobecněná síla τ2, první člen L21(t)

Kinetická energie po ruční derivaci podle dq2

druhý člen L22(t) roven nule - v kinetické energii není nikde q2(t)

třetí člen L23(t) - derivace potenciální energie podle q2(t)

Druhá zobecnìná síla

Porovnání s výsledkem získaným z Newton-Eulerových vztahů (bez vlivu vnitřních převodů)

Třetí zob síla, první člen L31(t), derivace K(t) ručně derivaci podle dq3(t) a pak podle času

Derivace ručně podle dq3(t)

Derivace podle času

druhý člen L32(t) , parciálně K(t) podle q3(t)

třetí člen L33(t) derivace P(t) podle q3(t) - nikde není, roven nule

První člen je zrychlující síla, druhý tečná, třetí odstředivá síla

Porovnání s výsledkem získaným z Newton-Eulerových vztahů (bez vlivu vnitřních převodů)

Výsledné Lagrangeovy pohybové rovnice - bez vnitřních převodů

Zahrnutí vlivu vnitřních převodů a rozvodů na dynamiku mechanismu (redukované momenty a hmotnosti)

Zahrnutí vlivu momentu setrvačnosti rotoru motoru, převodovky a vnitřních kroužků velkých ložisek

Zahrnutí vlivu zrychlení vnitřních převodů TRAN2 na zobecněnou sílu tau1

Zahrnutí vlivu zrychlení ROT1 na vnitřní převody TRAN2

Zahrnutí zvýšení redukované hmotnosti článku TRAN2 vlivem zrychlení rotoru MOT2 a jeho převodovky a pohybového šroubu

Zahrnutí zvýšení redukované hmotnosti vlivem zrychlení rotoru motoru MOT3, ozubeného kola a matice pohybového šroubu (řemen neuvažován)

Pozn. - Nejsou uvažovány gyroskopické efekty

Zavedení nových koeficientů - zahrnují hmotnostní parametry a polohy těžišť

Výsledné Lagrangeovy pohybové rovnice

kde

Zobecněné síly z úplného modelu v ProE včetně vnitřních převodů

Porovnání výsledků s výpočtem podle N-E vztahů

Lagrangeova pohybová rovnice maticově

zob.síla tau = A(q,t) . ddq(t) + C(dq,q,t) + G(q)

Opačná úloha - zjištění počátečního vektoru zrychlení DDQ(t) při buzení známým průběhem zobecněných sil

stejné jako požadované zrychlení